一个人是否可能长时间从事初等教学工作而仍然保持数学上的活力。“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯的一生就是确定的回答。
在详细介绍魏尔斯特拉斯之前，我们按年代顺序介绍他同时代的德国数学家，这些人在19世纪后半叶和20世纪的最初30年内，对于数学的至少一个领域提出了新的见解。1855年是数学上的一个标志性时间点，这一年高斯去世，标志着与前一世纪杰出的数学家的最后联系的中断。1855年，魏尔斯特拉斯40岁；克罗内克32岁；黎曼29岁；戴德金24岁；而康托尔还是一个10岁的小孩子。因此德国数学不缺乏新人来延续高斯的伟大传统。这时魏尔斯特拉斯刚刚得到公认；克罗内克刚开了个好头；黎曼已经做出了一些最伟大的工作；戴德金正在进入使得名声大噪的领域（数论）。当然，康托尔还默默无闻。
这些人在数学的一个中心问题，即无理数的问题上走到了一起。魏尔斯特拉斯和戴德金继欧多克斯重新开始了对无理数和连续的讨论；克罗内克怀疑并批评魏尔斯特拉斯对欧多克斯的修正；而康托尔则闯出了一条他自己的新路，力图领悟隐含在连续这个概念中的实无穷本身。从魏尔斯特拉斯和戴德金的工作中，开创了分析学的现代纪元，即分析学（微积分学、单复变函数理论和实变函数理论）的严格的逻辑精确性。高斯、阿贝尔和柯西开始了严格化的第一个阶段；魏尔斯特拉斯和戴德金则把它推到了更高的水平上。
魏尔斯特拉斯的一项发现，特别使直观派的分析学家们感到震惊：他作出了一个在任何一点上都没有切线的连续曲线。高斯一度称数学为“眼睛的科学”；但要让人"看见"魏尔斯特拉斯的曲线，需要比一双好眼睛更多的东西。
在数学中，魏尔斯特拉斯函数是处处连续但处处不可微的实值函数的示例。魏尔斯特拉斯函数在区间[−2,2]上的图。像其他一些分形一样，该函数表现出自相似性，每次缩放（红圈）都与全局图相似。克罗内克猛烈地地攻击过它（数学分析），否认它有什么意义，但没有给数学分析留下丝毫影响。直到20世纪的第二个10年，人们才认真考虑他对于目前所接受的连续和无理数的信念的责难。不管是否有道理，克罗内克的攻击部分导致了现代数学推理中严格化的第三个阶段。
阿贝尔死于1829年，伽罗瓦死于1832年，雅可比死于1851年。在我们所论及的时代，数学分析中的一个突出问题，是完成阿贝尔和雅可比关于多周期函数（椭圆函数，阿贝尔函数）的工作。魏尔斯特拉斯和黎曼从完全不同的观点完成了应该做的事情（魏尔斯特拉斯认为自己在某种程度上是阿贝尔的后继者）；克罗内克在椭圆函数方面开辟了新的前景，但是他没有在阿贝尔函数领域与另外两个人竞争。克罗内克主要是算术学家和代数学家；他的一部最优秀的著作，是对伽罗瓦在方程理论中的工作的详尽阐述和发展。这样，伽罗瓦在他去世后不久就有了一个相称的后继者。
魏尔斯特拉斯
卡尔·威廉·特奥多尔·魏尔斯特拉斯（Karl Wilhelm Theodor Weier-strass）于1815年10月31日出生在德意志，明斯特区的奥斯滕费尔德。
数学家们往往喜欢音乐，像魏尔斯特拉斯这样豁达的一个人竟不能忍受任何形式的音乐。但是，他像阿贝尔和其他许多第一流的数学家一样，喜欢“拜访”数学大师，他曾经醉心于拉普拉斯的《天体力学》，从而为他终生感兴趣的力学和联立微分方程组奠定了基础。
1839年5月22日，魏尔斯特拉斯在明斯特开始了中等学校教师的生涯。这对他后来在数学上的卓越成就是一级最重要的阶梯。对魏尔斯特拉斯影响最大的，是克里斯托夫·古德曼来到明斯特担任数学教授，古德曼当时正热衷于椭圆函数。
雅可比在1829年发表了他《椭圆函数理论的新基础》。
在古德曼所处的时代，椭圆函数理论可以有许多不同的方法去发展。古德曼的想法是一切都以函数的幂级数展开为基础，但他并没有取得多大的成就。重要的是，魏尔斯特拉斯使幂级数理论（古德曼的灵感）成为他在分析学方面的全部工作的核心。
古德曼讲授椭圆函数课程的第一讲时，只有13个人听。第二讲只来了一个听众，就是魏尔斯特拉斯。从此以后，没有第三者胆敢来亵渎这位演讲者与他唯一的弟子之间的神交。
魏尔斯特拉斯在26岁时开始了在中学教书的职业，一直持续15年，这通常被认为是一个数学家一生中最富于创造力的15年。魏尔斯特拉斯的讲课是完美的典范，他能给予学生们一种摸不着的东西，叫做灵感。他造就了一大批富于创造力的数学家。
阿贝尔，贫穷的挪威人魏尔斯特拉斯常常同他的朋友——阿贝尔一起熬夜。当他成为世界上第一流的分析学家和欧洲最伟大的数学教师时，他对众多学生的第一个、也是最后一个忠告，就是“读阿贝尔”。
魏尔斯特拉斯创造性的思想，绝大部分是他在担任一名默默无闻的中学教师时构思出来的，那里没有先进的书籍。由于付不起邮费，魏尔斯特拉斯不能进行科学通信。或许这对他倒是一件好事∶他的独创性可以不受当时流行的思想的妨碍而自由发展。他在演讲中，总想从头开始按照他自己的特点进行，几乎从不提到别人的工作。
数学生涯
在明斯特的高级中学担任一年见习教师以后，魏尔斯特拉斯写了一篇关于分析函数的论文。他在这篇论文中，除了其他东西以外，独立地得出了柯西的积分理论——所谓的分析学基本定理。1842年，魏尔斯特拉斯27岁时，把他所发展的方法应用到微分方程组，论述是成熟和有力的。他做这些工作，没有想到发表，仅仅是为他毕生的事业（论阿贝尔函数）打基础。
德意志克罗内这个无名的小村，有幸成为魏尔斯特拉斯在1842年首次出版著作的地方，它在数学史上像一个王国的首都那样突出。因为正是在这里，魏尔斯特拉斯为他一生中最重要的工作——“完成阿贝尔的和源自阿贝尔定理的雅可比的毕生事业，以及雅可比对多变量的多周期函数的发现”——奠定了基础。
阿贝尔在他年轻力壮的时候就去世了，没有机会去探究他的惊人发现的重大意义；而雅可比没有能清楚地看出，应该在阿贝尔定理中找出他自己的工作的真正意义。这些成果的巩固和发展是数学的主要问题之一。
因此魏尔斯特拉斯宣称，一旦他深刻地了解了这个问题，并发展出必要的工具，他就将全力以赴从事这个问题。
可以把魏尔斯特拉斯在分析方面的全部工作，看作对他的很多研究的重大开始。他早就确信，为了清楚地理解他想要做的是什么，必须对数学分析的基本观念进行彻底的修正；从这个信念出发，他又产生了另一个信念∶分析必须建立在普通整数上。无理数给我们极限和连续的概念，从中产生分析，而无理数必须通过不可违反的推理回溯到整数去；似是而非的证明必须抛弃或重做，空白必须补上，模糊的“自明之理”必须拿出来经受严格的质询，直到一切都理解了，一切都按照用整数能够理解的语言陈述清楚了为止。这在某种意义上是毕达哥拉斯的理想∶把全部数学建立在整数的基础上，但是魏尔斯特拉斯给了这个计划以建设性的、明确的定义，使它能够解决问题。
这样就产生了19世纪的分析的算术化运动，它和克罗内克的算术方法完全不同。
最懂“整数”的人—克罗内克，最深奥的数学一定可以表示成整数
1853年，魏尔斯特拉斯（这时38岁）的暑假是在韦斯特科滕他父亲家里度过的。魏尔斯特拉斯利用这个假期写了一篇关于阿贝尔函数的论文。1854年，这篇论文发表在了克列尔的《杂志》上，引起了轰动。
柯尼斯堡大学在柯尼斯堡大学，雅可比曾经作出他的伟大发现，现在魏尔斯特拉斯以一篇更优秀的杰作，进入了同一个领域。柯尼斯堡大学的一位数学教授里什洛是雅可比在多周期函数理论方面的一个后继者。他以专业的眼光立刻看出了魏尔斯特拉斯论文的价值。他即刻说服柯尼斯堡大学授予魏尔斯特拉斯名誉博士学位，而且亲自前往布劳恩斯贝格送交学位证书。当时克列尔的《杂志》的编辑博尔夏特（Borchardt），匆忙赶到布劳恩斯贝格，去祝贺这位全世界最伟大的分析学家，从而开始了他们之间的亲切友谊。
1856年7月1，魏尔斯特拉斯被任命为柏林皇家综合工科学校的数学教授。同年秋天，他成为了柏林大学的助理教授，并被选入柏林科学院。
新的工作环境的激励和讲课太多带来的紧张，不久就导致了精神崩溃。魏尔斯特拉斯在他的研究工作方面也干得过于劳累。1859年夏天，他不得不放弃他的课程去休息治疗。秋季他回校，继续工作，健康明显地恢复了。但是第二年3月突然发生一阵阵的头晕，他在一次讲课中倒下了。
后来，魏尔斯特拉斯的声望传遍欧洲（后来传到美洲），魏尔斯特拉斯所教的班开始庞大得难于控制了。他在自己周围聚集了一群极其能干的青年数学家，这些青年数学家做了许多工作去宣传他的思想。由于魏尔斯特拉斯对于发表他的著作一向不积极，如果不是他的弟子们主动传播他的演讲，他对19世纪数学思想的影响就会大大地受到阻碍了。
与柯瓦列夫斯卡娅的友谊
索尼娅·柯瓦列夫斯卡娅魏尔斯特拉斯在柏林担任数学教授的年代（1864——1897），这位世界公认为第一流的分析学家的生涯中，充满了科学和人性方面的饶有兴味的事情。有一件事，不是一笔带过所能满足的。这就是他和他心爱的学生索尼娅·柯瓦列夫斯卡娅的友谊。
柯瓦列夫斯卡娅于1850年1月15日生于莫斯科，于1891年2月10日死于瑞典的斯德哥尔摩。
索尼娅15岁开始研究数学。到18岁时，她取得极快的进展，可以进行高级的工作，并且醉心于这门学科。由于她出身于富裕的贵族家庭，她出国学习的抱负得以满足，被海德堡大学录取。这位天资很高的姑娘，不仅成为近代第一流的女数学家，而且也作为一名妇女解放运动的领袖而闻名。此外，索尼娅是极其美貌的。
1870 年，普法战争使魏尔斯特拉斯放弃了通常的暑期旅行，他留在柏林讲授椭圆函数。索尼娅当时是一位光彩夺目的19岁的年轻女子，从1869年秋季起，她就在海德堡大学师从莱奥·柯尼希斯贝格尔学习椭圆函数。柯尼希斯贝格尔是魏尔斯特拉斯最早的一个学生，也是魏尔斯特拉斯的第一流的宣传员。索尼娅决定直接去找这位大师本人，以求得到灵感和启迪。
在19世纪70年代，未婚女大学生的情况是有些特殊的。为了防止流言蜚语，索尼娅在18岁时就缔结了婚约，名义上算是结了婚，她离开了在俄国的丈夫，启程去了德国。在她与魏尔斯特拉斯的交往中，她欠考虑的是没有在一开始就告诉魏尔斯特拉斯她是结了婚的。
既已决定向这位大师本人学习，索尼娅便敢作敢为地去柏林拜访魏尔斯特拉斯。她20岁，非常热情，非常诚挚而又非常坚决；魏尔斯特拉斯55岁，满怀同情地理解年轻人的抱负。索尼娅为了掩饰她的惊慌，戴了一顶松软的大帽子，因而魏尔斯特拉斯完全看不见她那双惊人的眼睛，要是她愿意，那富于表情的眼神是谁也不能抗拒的。
索尼娅第一次拜访时的明显的热情，给魏尔斯特拉斯留下了良好的印象。于是他写信给柯尼希斯贝格尔，询问她的数学才能。他还问到“是否能为这位小姐的品格提供必要的担保”。在收到肯定的答复以后，魏尔斯特拉斯就试着请求大学评议会允许索尼娅听他的数学讲座。请求被粗暴地拒绝了，他便利用业余时间亲自照顾她。每个星期日下午在他的住处给索尼娅讲课，每星期魏尔斯特拉斯去回访她一次。最初几次课以后，索尼娅就脱下了她的帽子。授课从1870年秋季开始，一直持续到1874年秋季，只是由于假期或生病才稍微中断一下。当这两位朋友由于某种原因不能见面时，他们就通信。1891年索尼娅去世后，魏尔斯特拉斯把她写给他的信全部烧毁，一起烧毁的还有他的许多其他信件和也许不止一篇数学论文。
魏尔斯特拉斯和他可爱的年轻朋友之间的通信，是极富于人情味的，即使大部分通信是关于数学方面的也仍然如此。毫无疑问，大部分通信在科学上具有很大的重要性，但不幸的是，索尼娅在对待文件方面是个毫无条理的女人，她留下的东西绝大部分是支离破碎或者杂乱无章的。
魏尔斯特拉斯本人在这方面也不是一个完人。他不作记录而把他尚未发表的手稿随便借给学生们，而他们并非每次都归还他们借去的东西。有些人甚至肆无忌惮地改写他们老师的部分著作，然后把结果当做他们自己的东西发表。虽然魏尔斯特拉斯在写给索尼娅的信中，抱怨这种令人不能容忍的做法，但他懊恼的不是对他的思想的卑劣剽窃，而是他的想法在无能之辈的手上被粗制滥造，结果是给数学造成损害。索尼娅当然决不会干出这种事来，但是在另一方面，她也不是完全没有过错的。魏尔斯特拉斯把他非常重视的一篇尚未发表的著作寄给了索尼娅，从此以后就再也没有看见它了。显然是她弄丢了，因为每当他提起这件事时，她就小心地避而不谈。
为了弥补这个过失，索尼娅竭力让魏尔斯特拉斯对于他没有发表的其余著作稍微谨慎一些。他习惯于在经常性的外出旅行时，随身带一个白色的大木箱，里面放着他的全部工作笔记，和他尚未完成的论文的各式各样的文稿。他的习惯是把一个理论反复修改很多遍，一直到找出发展它的最好的“自然”方式为止。结果他的著作出版得很慢，只有在他从一个前后一致的观点，彻底研究透了一个题目时，他才署上自己的名字，发表一篇著作。1880年，魏尔斯特拉斯在一次度假旅行中，这个箱子丢失了。从此以后再没有听见它的消息。
1874年索尼娅缺席获得哥廷根大学授予的学位以后，回俄国休息。她的“休息”就是一头扎进了圣彼得堡繁忙的社交季节狂热的轻浮活动之中，而魏尔斯特拉斯则回到柏林，在整个欧洲到处活动，想方设法要为他心爱的学生谋到一个与她的才能相称的位置。他白费力气的努力，使他厌恶正统学术思想的狭隘。
1875年10月，魏尔斯特拉斯从索尼娅那里得到她父亲去世的消息，她显然没有答复他的亲切吊慰，将近3年的时间，她完全从他的生活中消失了。1878年8月，他写信询问她是否曾经收到他很久以前写给她的一封信，日期他已忘记了。
你没有收到我的信吗？或者有什么东西能够阻止你，像你惯常做的那样，自由地向我，你常常称为你最好的朋友，吐露你的秘密这是一个谜，只有你能把谜底告诉我……
她整整两年没有答复她老朋友的信，尽管她知道他不愉快，而且健康状况不佳。当回信来到时，却是一件相当令人失望的事。索尼娅的性欲胜过了她的抱负，她和她的丈夫一直生活得很幸福。这时她的不幸就是成为一伙浅薄的艺术家、记者和半瓶子醋的文人奉承和愚蠢地故作惊奇的中心，他们对她无比的天才喋喋不休，肤浅的吹捧使她兴奋、激动。如果她同那些与她相当的知识分子经常交往，她原可以仍然过着正常的生活，保持她的热诚，她将不至于如她的所作所为那样，卑鄙地对待这个塑造了她的思想的人。
索菲亚和她的女儿1878年10月，索尼娅的女儿"福菲"）诞生了。她不得不安静下来，这再次唤起了这位母亲对数学的潜在的兴趣，她给魏尔斯特拉斯写信，要求给予技术上的忠告。他回信说，在提出意见之前，他必须查找有关的文献。虽然她曾经怠慢了他，他仍然准备给予她慷慨的鼓励。她唯一遗憾的是，她长时间的沉默剥夺了他帮助她的机会。
物质方面的磨难唤起索尼娅认识了真理。她是一个天生的数学家，再不能离开数学，犹如鸭子离不开水。所以1880年10月她再次写信请求魏尔斯特拉斯给她以忠告，且不等他的答复，她就打点行装，离开莫斯科前往柏林。然而，当心烦意乱的索尼娅出其不意地到达时，他花了一整天的时间，为她仔细检查了她的种种困难。他一定对她作了坦率的谈话；因为当她3个月后回到莫斯科时，她那样狂热地投身于她的数学，以致她那些放荡的朋友和愚蠢的谄媚者，再也认不出她了。在魏尔斯特拉斯的建议下，她着手解决光在某种结晶介质中的传播问题。
1882年的通信有两个新的方面，一个是关于数学兴趣的，另一个是魏尔斯特拉斯坦率的意见，认为索尼娅和她的丈夫对彼此都不适合，特别是她的丈夫不能真正重视她才智上的成就。数学方面涉及庞加莱，他当时正处于事业上的开始阶段。魏尔斯特拉斯以他识别年轻天才的可靠本能，称庞加莱是一个有前途的人，希望他戒除过分迅速地发表著作的癖好，让他的研究成熟，不要把它们分散在太宽的领域。谈到庞加莱如潮水般涌来的论文，他说∶“每星期发表一篇真正有成就的文章——那是不可能的。”
索尼娅的家庭难题，不久就由于她丈夫在1883年3月突然去世而自行解决了。当时她在巴黎，她丈夫在莫斯科。这个打击压倒了她。整整4 天，她把自己独自关在房间里，拒绝饮食，第五天丧失了意识，第六天恢复了，要纸和笔，在纸上写满了数学公式。到秋天，她回复原态，在敖德萨参加了一次科学大会。
1884年秋，她在斯德哥尔摩大学讲课，1889年被任命为终身教授。稍后不久，意大利数学家沃尔泰拉指出，她关于光在结晶介质中的折射这项工作中有一处严重错误，她遭到了一次令人相当难堪的挫折。魏尔斯特拉斯没有看出这一失误，他当时被公务淹没了，除了这些公务以外，他只有吃、喝、睡觉的时间。他这时快70岁了，但是随着躯体疾病的增加，他的智力仍然像以往一样强健敏捷。
这位大师的70岁诞辰，成为一个向他公开表示敬意的日子，他的弟子和从前的学生从整个欧洲前来聚会。在这以后，他公开的讲演越来越少，有10年的时间待在他自己家里接待少数学生。他80岁诞辰时，举行了比他的70岁诞辰更加令人难忘的庆祝，他在一定程度上成了德国人民的民族英雄。
魏尔斯特拉斯在他垂暮之年所经历的一次最大的快乐，就是他心爱的学生终于博得了公认。1888年圣诞节前夕，索尼娅由于她的论文《论一个固体绕一个定点旋转》而获得法兰西科学院的博尔丹奖。
魏尔斯特拉斯欣喜若狂。他写道∶
我不需要告诉你，你的成就使我自己和我的妹妹们（也是你在这里的朋友）多么高兴。我尤其感受到一种真正的满足；有资格的评委们现在已经作出了他们的裁决，那就是我忠实的学生，我所钟爱的人，确实不是一个轻佻的骗子。
两年以后（1891年2 月10日），索尼娅41岁时，感染了当时盛行的流行性感冒，不久后便在斯德哥尔摩去世。魏尔斯特拉斯在她死后又活了6年，于1897年2月19日，在长期患病又染上了流行性感冒之后，在他柏林的家中平静地去世，终年82岁。索尼娅葬在斯德哥尔摩，魏尔斯特拉斯和他的两个妹妹葬在柏林的一个天主教墓地。
两个基本概念
我们现在就魏尔斯特拉斯据以奠定他在分析学中的工作的两个基本概念给以提示。一个幂级数是形式为
的表达式，其中系数a_0，a_1，a_2，…，a_n，…是常数，z是一个变数，所涉及的数可以是实数或复数。
级数的前n项的和称为部分和。如果对于z的某个特殊值，这些部分和给出的一系列数收敛于某个确定的极限，我们就说该幂级数对于这一z值收敛于同一极限。使幂级数收敛于某个极限的一切z值，构成了该级数的收敛域；对于在收敛域中的变量z的任何值，级数收敛；对z的其他值，级数发散。如果级数对某个z值收敛，那么只要取充分大项数，就可以对该z值计算级数之值而达到任何所需的近似程度。现在，在大多数对科学有用的数学问题中，人们给出的“答案”常常是一个微分方程（组）的级数解，而这个解很少能由通常的数学函数（例如对数函数、三角函数、椭圆函数等等）的有限表达式得到。那么，在这样的问题中就必须做两件事∶
证明级数收敛；如果它收敛的话，计算它的数值直到所要求的精度为止。如果级数不收敛，它通常是个信号，说明问题要么陈述不正确，要么解错了。纯数学中出现的大量函数都用同样的方式处理，不管它们是否可能有科学应用。
最后，所有这些（纯粹的和应用的两方面）已被推广到多变量的幂级数。例如，有两个变量的幂级数：
可以说，要是没有幂级数理论，大多数我们所知的数学物理学（包括大部分天文学和天体物理学）就不会存在了。
与极限、连续和收敛的概念一起产生的种种困难，促使魏尔斯特拉斯创造了他的无理数理论。
假定我们像在学校中所做的那样求2的平方根，计算到很多位小数，我们得到数字序列1，1.4，1.41，1.412，…，作为对所求平方根的逐渐逼近。根据通常的规则，按照明确的步骤继续下去，只要下足够的工夫，如果必要的话，我们能够给出构成的这个逼近序列的前一千个，或头一百万个有理数。我们发现，当进行得足够远时，我们就完全决定了这个有理数，包含着我们想要多少位就有多少位的小数，而且这个有理数与该序列中后续出现的任何有理数都不同。
这说明了数的收敛序列意味着什么∶构成序列的有理数给我们提供了我们称为2的平方根那个无理数的越来越逼近的近似值，我们设想这个无理数是由该收敛的有理数序列定义的，这个定义的意义在于∶以有限步数计算该序列的任何特殊成员的方法已被指明。
虽然不可能实际展示出整个序列，然而我们把构造该序列的任何成员的过程，视为将整个序列当做我们能够讨论一个确定的对象。这样做，在数学分析中我们就有了一个使用2的平方根，以及类似地使用任何无理数的可操作的方法。
然而，不管是对还是错，魏尔斯特拉斯和他的学派使这个理论有了作用。在数学上，就像在其他一切事情上一样，完美是一种幻想，用克列尔的话说，我们只能希望越来越逼近数学真理，恰如魏尔斯特拉斯用收敛的有理数序列定义无理数的理论一样。
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